Soal dan Pembahasan Permutasi, Kombinasi dan Peluang (1-6)

Rumus umum aturan faktorial.
n! = n x (n – 1) x (n – 2) x (n – 3)!
Rumus umum Permutasi.
nPr = n!/(n – r)!
Rumus umum Permutasi Melingkar.
(n-1)!
Rumus umum Kombinasi
nCr = n!/(r!(n – r)!)
Rumus umum Peluang
P = n(A)/n(S)

1. Nilai n yang memenuhi untuk nP5 = 9. (n-1)P4 ?
Penyelesaian:
Jadi nilai n = 9.

2. Jika (n+2)C5 = 2. (n+1)C4. Maka nilai dari 2n + 3 adalah…
Penyelesaian:
Didapat nilai n = 8. Jadi nilai 2n + 3 = 2.8 + 3 = 19.

3. Buktikan mengapa 0! = 1 ?
Penyelesaian:
Seperti yang kita tahu, misalnya:
4! = 4x3x2x1
6! = 6x5x4x3x2x1
1! = 1.
Dengan beberapa contoh ini dapat disimpulkan bahwa:
n! = n x (n – 1)!
Kemudian kita dapat bagi setiap sisi dengan n.
n!/n = [n x (n - 1)!]/n
n!/n = (n – 1)!
Nah kemudian coba subtitusi nilai n = 1. Maka:
n!/n = (n – 1)!
1!/1 = (1 – 1)!
1 = 0!
0! = 1     —–> terbukti.

4. Ada 9 bola.Tiap bola ditandai dengan angka yang saling berlainan yakni: mulai dari 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 dan 20. Dilakukan pengambilan 2 bola secara acak. Tentukan peluang munculnya 2 bola dengan jumlah angka yang genap?
Penyelesaian:
Jumlah sampel = 9.
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Genap = 5
Ganjil = 4
2 buah angka yang dijumlahkan hasilnya GENAP, jika:

• GENAP + GENAP = GENAP
• GANJIL + GANJIL = GENAP.

Banyaknya cara munculnya angka GENAP + GENAP
= 5C2 = 5!/2!.3! = 10 cara.
Banyaknya cara munculnya angka GANJIL + GANJIL
= 4C2 = 4!/2!.2! = 6 cara.
Jadi, peluang munculnya 2 angka dengan jumlah genap adalah:
P = n(A)/n(S)
P = [5C2 + 4C2] / 9C2
P = [10 + 6] / 9C2

untuk 9C2 = 9!/2!.7!
= 9.8.7!/2.7!
= 72/2 = 36.

Maka,
P = [10 + 6] / 9C2
P = [10 + 6]/36
P 16/36 = 4/9.

5. Terdapat 3 mata uang logam yang dilemparkan bersamaan. Tentukan besar frekuensi harapan peluang munculnya sisi muka lebih dari satu pada 64 percobaan pelemparan?
Penyelesaian:
Mis: S = sisi muka uang logam
B = sisi belakang uang logam.
Banyaknya kejadian/sampel yang muncul saat terjadi pelemparan 3 mata uang logam bersamaan, ada pada gambar di bawah ini;

Jumlah kejadian/sampel = 8.
Dimana 4 diantaranya adalah kejadian dimana sisi muka muncul lebih dari satu, yakni: MMM, MMB, MBM, BMM.
Peluang munculnya sisi muka lebih dari satu adalah
P = n(A)/n(S)
P = 4/8 = 1/2.
Jadi, frekuensi harapannya adalah
= n.P = 64. 1/2 = 32.

MATEMATIKA BIOLOGI
6. Seorang pria dengan genotipe Bb menderita Brakhidaktili (berjari pendek-gemuk) kawin dengan seorang wanita Bb yang juga Brakhidaktili. Kejadian Brakhidaktili terjadi jika dalam keadaan Heterozigot (Bb). Kemungkinan anak laki-lakinya normal adalah
Jika anaknya dalam keadaan homozigot dominan (BB) maka bersifat letal atau mati.
Anak akan normal jika dalam keadaan homozigot resesif (bb).
Penyelesaian:
Diagram Persilangannya.
P =      Bb (pria)     ><     Bb (wanita)
G =          B, b           ><            B, b
F = 1 BB = letal mati.
2 Bb = Brakhidaktili
1 bb = normal
Kemungkinan anaknya normal adalah 1/4 atau 25%.

Tiap kejadian kelahiran, anaknya kalau bukan laki-laki ya perempuan. Jadi, peluang lahirnya anak laki-laki adalah 1/2 atau 50%.
Jadi, peluang lahirnya anak dari sepasang suami istri itu yang normal dan laki-laki adalah
P = 1/4 x 1/2 = 1/8.